Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a₁+a₅=246，a₂a₄=729．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n•log₃a_n+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a₁+a₅=246，a₂a₄=729，建立方程組，求出首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用錯位相減法，即可求T_n．

解答： 解：（1）∵

a1+a5=246 a1a5=729

，∴

a1=3 a5=243

或

a1=243 a5=3

（舍去），
∴q=3，∴an=3n…（6分）
（2）由（1）得bn=(n+1)•3n，則Tn=2×3+3×32+…+n×3n-1+(n+1)×3n①3Tn=2×32+3×33+…+n×3n+(n+1)×3n+1②
①-②得-2Tn=6+(32+33+…+3n)-(n+1)•3n+1=3+

3(1-3n)

1-3

-(n+1)•3n+1=

3

2

-

2n+1

2

•3n+1，
∴Tn=-

3

4

+

2n+1

4

•3n+1

點(diǎn)評：本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，用好錯位相減法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．