Question

已知函數(shù)，
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≥x對(duì)于任意的x∈[0，a+1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）==
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，f′（x）=≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，∵△=a²-4＜0∴x²-ax+1＞0恒成立，函數(shù)定義域?yàn)镽，又a+1＞1，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，1+a）單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），f′（x）=
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，（1，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，∵△=a²-4＞0，設(shè)x²-ax+1=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由韋達(dá)定理易知兩根均為正根，且0＜x₁＜1＜x₂，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，x₁）∪（x₂，+∞）
又對(duì)稱軸x=＜a+1，且（a+1）²-a（a+1）+1=a+2＞0，x₂＜a+1
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₁，1）單調(diào)遞增，（1，x₂），（x₂，a+1）上單調(diào)遞減，（1+a，+∞）單調(diào)遞增
（2）解：由（1）可知當(dāng)a＞2時(shí)，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]時(shí)，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，---------
當(dāng)a=0時(shí)，單調(diào)遞增，所以f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立----------------
當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，，
下面證明：即證e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））
令g（x）=e^x-（x+1）x，g′（x）=e^x-2x-1，g″（x）=e^x-2
∵x∈（1，3）∴g″（x）＞0，∴g′（x）單調(diào)遞增，∵g′（1）＜0，g′（3）＞0
∴?x₀使得=e^x-2x₀-1=0
∴g（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，3）上單調(diào)遞減，此時(shí)g（x）≥g（x₀）=-+x₀+1
∵g′（）=-（2+）＞0
∴x₀＜∴g（x₀）＞0
所以不等式e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））所以
綜上所述，當(dāng)a∈[0，2）時(shí)，不等式f（x）≥x對(duì)于任意的x∈[0，a+1]恒成立-------
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后討論a，得到導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可知當(dāng)a＞2時(shí)，x∈[x₁，x₂]⊆[0，a+1]時(shí)，有f（x）＜0即f（x）≥x不成立，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）≥x在x∈[0，a+1]上成立，當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，證明，即證e^x-（x+1）x≥0（x=a+1∈（1，3））即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于難題．