Question

已知函數(shù)，。
（1）若對任意的實數(shù)a，函數(shù)與的圖象在x = x₀處的切線斜率總想等，求x₀的值；
（2）若a > 0，對任意x > 0不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

（1）a-1（2）

試題分析：解：(Ⅰ)恒成立，恒成立即.  
方法一：恒成立，則
而當時，
則，，在單調(diào)遞增，
當，， 在單調(diào)遞減，
則，符合題意.
即恒成立，實數(shù)的取值范圍為；
方法二：，
(1)當時，，，，在單調(diào)遞減，
當，，在單調(diào)遞增，
則，不符題意；
(2)當時，，
①若，，，，單調(diào)遞減；當，， 單調(diào)遞增，則，矛盾，不符題意；
②若，
（Ⅰ）若，；；
，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，不符合題意；
（Ⅱ）若時，，，在單調(diào)遞減，，不符合題意.
（Ⅲ）若，，，，，，，， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，與已知矛盾不符題意.
（Ⅳ）若，，，，在單調(diào)遞增；
當，， 在單調(diào)遞減，
則，符合題意；
綜上，得恒成立，實數(shù)的取值范圍為
(Ⅱ) 由(I)知，當時，有，；于是有 ，.
則當時，有
在上式中，用代換，可得
相乘得
點評：解決的關鍵是借助于導數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，進而證明不等式，屬于基礎題。