Question

已知函數(shù)f（x）=3^-x，等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為f（n）-c，正項(xiàng)數(shù)列b_n的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足
（1）求c，并求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

解：（1）∵等比數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和為f（n）-c，
∴a₁=f（1）-c=-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-
又?jǐn)?shù)列{a_n}成等比數(shù)列，
=-，
∵a₁=-c
∴-=-c，∴c=1
又公比q==
所以a_n=-•，n∈N；
∵S_n-S_n-1==（n≥2）
又b_n＞0，＞0，∴=1；
∴數(shù)列{ }構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，
∴=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
當(dāng)n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1適合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（2）由（1）知=（2n-1）+（2n-1）•（）ⁿ
設(shè)（2n-1）•（）ⁿ前n項(xiàng)和為Q_n 設(shè)數(shù)列2n-1的前n項(xiàng)和為S_n
Q_n=+3×（）²+5×（）³+…+（2n-3）•（）^n-1+（2n-1）•（）ⁿ ①
Q_n=（）²+3×（）³+5×（）⁴+…+（2n-3）•（）ⁿ+（2n-1）•（）ⁿ⁺¹ ②
①-②得：=
∴Q_n=1-（n+1）（）ⁿ
∴S_n=n²
∴T_n=S_n⁺Q_n=n²+1-（n+1）（^）n
分析：（1）由等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c求出數(shù)列{a_n}的公比和首項(xiàng)，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=可得到數(shù)列{ }構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而得到數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式，再由b_n=S_n-S_n-1可確定{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）首先寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式和數(shù)列求和的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及其求和公式，此題還要熟練掌握錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，此題有一定的難度．