Question

若y=sin²x+2pcosx+q有最大值9和最小值3，求實(shí)數(shù)p，q的值．

Answer 1

分析：利用同角三角函數(shù)關(guān)系及換元法，可將函數(shù)y=sin²x+2pcosx+q的解析式化為y=-t²+2pt+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，t∈[-1，1]，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上最值問題，結(jié)合函數(shù)的最大值9和最小值3，分類討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到實(shí)數(shù)p，q的值．

解答：解：y=sin²x+2pcosx+q=-cos²x+2pcosx+q+1…（2分）
令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=-t²+2pt+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，y=-（t-p）²+p²+q+1的對(duì)稱軸為t=p…（3分）
①當(dāng)p＜-1時(shí)，函數(shù)y在t∈[-1，1]為減函數(shù)y_max=y|_t=-1=-2p+q=9，y_min=y|_t=1=2p+q=3，解得：p=-

3

2

，q=6…（5分）
②當(dāng)p＞1時(shí)，函數(shù)y在t∈[-1，1]為增函數(shù)y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，y_max=y|_t=1=2p+q=9，p=

3

2

，q=6…（7分）
③當(dāng)-1≤p≤1時(shí)，y_max=y|_t=p=p²+q+1=9
（i）當(dāng)-1≤p≤0時(shí)，y_min=y|_t=1=2p+q=3
解得：p=1±

6

，與-1≤p≤0矛盾；                    …（9分）
（ii）當(dāng)0＜p≤1時(shí)，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3
解得：p=±

6

-1，與0＜p≤1矛盾．…（11分）
綜合上述：p=-

3

2

，q=6或p=

3

2

，q=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中利用同角三角函數(shù)關(guān)系及換元法，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是解答本題的關(guān)鍵．