Question

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線(xiàn)m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，
并且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡H的方程；
（2）若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，．
設(shè)軌跡H的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為M和N．當(dāng)θ為何值時(shí)，△MNF為一個(gè)正三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，A，B的坐標(biāo)和P的坐標(biāo)，把A，B坐標(biāo)代入橢圓的方程聯(lián)立，當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)方程組相減整理求得的x和y的關(guān)系式，再看當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P也滿(mǎn)足方程，綜合可得答案．
（2）把（1）中的軌跡方程整理成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得M，N，F(xiàn)的坐標(biāo)，使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，則tan==，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)條件中的a和b的表達(dá)式，聯(lián)立求得θ．
解答：解：（1）設(shè)橢圓Q：（a＞b＞0）
上的點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則
1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁?1;x₂，
由（1）-（2）得
b²（x₁-x₂）2x+a²（y₁-y₂）2y=0
∴
∴b²x²+a²y²-b²cx=0（3）
2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿(mǎn)足方程（3）
故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0
（2）因?yàn)檐壽EH的方程可化為：
∴M（，），N（，-），F(xiàn)（c，0），
使△MNF為一個(gè)正三角形時(shí)，
則tan==，即a²=3b²．
由于a²=1+cosθ+sinθ，，
則1+cosq+sinq=3sinθ，
得θ=arctan
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．