Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+c}$是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值1．
（1）求出a，b，c的值并寫出f（x）的解析式；
（2）若x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1=f（x_n），求證：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$$＜\frac{5}{16}$；
（3）若x₁∈（0，1），x_n+1=f（x_n），試比較x_n+1與x_n的大小并證明．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義得出f（0）=0，利用求解b=0，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值1，得出$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{c}=1}\\{\frac{a}{2\sqrt{c}}=1}\end{array}\right.$求解即可．
（2）x_k+1-x_k=$\frac{{x}_{k}（1-{x}_{k}）（1+{x}_{k}）}{1{+x}_{k}^{2}}$=x_k（1-x_k）$\frac{1+{x}_{k}}{1{+x}_{k}^{2}}$利用基本不等式證明，裂項(xiàng)放縮$\frac{（{x}_{k}-{x}_{k+1}）^{2}}{{x}_{k}{x}_{k+1}}$（x_k+1-x_k））≤$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（$\frac{1}{{x}_{k}}$-$\frac{1}{{x}_{k+1}}$），
$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$$＜\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-1）再放大，湊出答案$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-1）$＜\frac{\frac{3}{2}+1}{8}$=$\frac{5}{16}$；
（3）判斷得出x_n+1＜1，作差變形x_n+1-x_n=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{n}（1-{x}_{n}）（1+{x}_{n}）}{{x}_{n}^{2}+1}$＞0，即可判斷大�。�

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+c}$是定義在R上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0，$\frac{c}$=0，b=0；
∴f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$=$\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$；
∵x$+\frac{c}{x}$≥2$\sqrt{c}$（x=$\sqrt{c}$等號(hào)成立）；
∴x=$\sqrt{c}$時(shí)，f（x）取最大值=$\frac{a}{2\sqrt{c}}$；
∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{c}=1}\\{\frac{a}{2\sqrt{c}}=1}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a=2}\end{array}\right.$；
∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$
（2）∵0＜x_k＜1，
∴x_k+1-x_k=$\frac{{x}_{k}（1-{x}_{k}）（1+{x}_{k}）}{1{+x}_{k}^{2}}$=x_k（1-x_k）$\frac{1+{x}_{k}}{1{+x}_{k}^{2}}$$≤\frac{1}{4}$×$\frac{1}{1+{x}_{k}+\frac{2}{{x}_{k}+1}-2}$$≤\frac{1}{4}$$•\frac{1}{2\sqrt{2}-2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$
∴$\frac{（{x}_{k}-{x}_{k+1}）^{2}}{{x}_{k}{x}_{k+1}}$（x_k+1-x_k）=$\frac{（{x}_{k+1}-{x}_{k}）}{{x}_{k}{x}_{k+1}}$（x_k+1-x_k）≤$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（$\frac{1}{{x}_{k}}$-$\frac{1}{{x}_{k+1}}$）
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（$\frac{1}{{x}_{1}}$$-\frac{1}{{x}_{2}}$$+\frac{1}{{x}_{2}}$$-\frac{1}{{x}_{3}}$$+\frac{1}{{x}_{3}}$$-\frac{1}{{x}_{4}}$$+…+\frac{1}{{x}_{n}}$$-\frac{1}{{x}_{n+1}}$）

=$\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$）
∵x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1＞x_n，
∴$\frac{1}{2}$＜x_n+1＜1，∴1$＜\frac{1}{{x}_{n+1}}$＜2，
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{2}-{x}_{3}）^{2}}{{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{（{x}_{n}-{x}_{n+1}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$$＜\frac{\sqrt{2}+1}{8}$（2-1）$＜\frac{\frac{3}{2}+1}{8}$=$\frac{5}{16}$；
（3）∵若x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1=f（x_n）；
x_n+1=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}+1}$，
x₁∈（0，1），∴x_n+1＞0，（n∈N*）
又x_n+1=f（x_n）≤1，且x_n+1=1，則x_n=1，從而x₁=1，與x₁∈（0，1）矛盾，
∴x_n+1＜1，
x_n+1-x_n=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}^{2}+1}$=$\frac{{x}_{n}（1-{x}_{n}）（1+{x}_{n}）}{{x}_{n}^{2}+1}$＞0，
x_n+1＞x_n．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，不等式的證明，充分利用放縮的方法求解證明，裂項(xiàng)方法變形代數(shù)式子，難度較大，屬于難題．