Question

某區(qū)組織群眾性登山健身活動(dòng)，招募了N名師生志愿者，將所有志愿者現(xiàn)按年齡情況分為15～20，20～25，25～30，30～35，35～40，40～45等六個(gè)層次，其頻率分布直方圖如圖所示：已知30～35之間的志愿者共8人．
（Ⅰ）求N和20～30之間的志愿者人數(shù)N₁；
（Ⅱ）已知20～25和30～35之間各有2名英語教師，現(xiàn)從這兩個(gè)層次各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人選中都至少有1名英語教師的概率是多少？
（Ⅲ）組織者從35～45之間的志愿者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的數(shù)量為ξ，求ξ的概率和分布列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)頻率分布直方圖中6個(gè)層次的頻率分別為P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆P₄=0.04×5=0.2，由此能求出N和20～30之間的志愿者人數(shù)N₁．
（Ⅱ）由p₂=0.3∴20～25之間有40×0.3=12人設(shè)從20～25之間取2人擔(dān)任接待工作，其中至少有1名英語教師的事件為B；從30～35之間取2人擔(dān)任接待工作，其中至少有1名英語教師的事件為C因?yàn)閮山M的選擇互不影響，由此能求出兩組選出的人選中都至少有1名英語教師的概率．
（Ⅲ） 35～45之間共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教師，2名男教師從中選取三人，則女教師的數(shù)量為ξ的取值可為1，2，3．由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)頻率分布直方圖中6個(gè)層次的頻率分別為P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，
P₆P₄=0.04×5=0.2，
所以N=

8

0.2

=40．
由題意P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆=1，
而P₂+P₃=1-（P₁+P₄+P₅+P₆）=1-5（0.01+0.04+0.02+0.01）=0.6，
所以，20～30之間的志愿者人數(shù)N₁=40×（P₂+P₃）=40×0.6=24．
（Ⅱ）∵p₂=0.3∴20～25之間有40×0.3=12人，
設(shè)從20～25之間取2人擔(dān)任接待工作，其中至少有1名英語教師的事件為B，
從30～35之間取2人擔(dān)任接待工作，其中至少有1名英語教師的事件為C，
因?yàn)閮山M的選擇互不影響，為相互獨(dú)立事件，
∴P(B)=1-P(

.

B

)=1-

C 2 10

C 2 12

=

7

22

；
P(C)=1-P(

.

C

)=1-

C 2 6

C 2 8

=

13

28

…（7分）
B與C為相互獨(dú)立事件，同時(shí)發(fā)生可記做BC，
所以，P(BC)=P(B)P(C)=

7

22

.

13

28

=

13

88

．
（Ⅲ） 35～45之間共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教師，2名男教師，
從中選取三人，則女教師的數(shù)量為ξ的取值可為1，2，3，
所以P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

；P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

；P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

所以，分布列為

ξ	1	2	3
P（ξ=k）	1 5	3 5	1 5

所以，數(shù)學(xué)期望為Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．[求ξ的概率和分布列．應(yīng)該改為：求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．]