Question

如圖，多面體EFABCD中，底面ABCD是正方形，AF⊥平面ABCD，DE∥AF，AB=DE=2，AF=1．

（1）證明： BE⊥AC；

（2）在棱BE上是否存在一點(diǎn)N，，使得直線CN與平面ADE成30°角，若存在，求出BN的長度：若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）法一：連結(jié)BD，∵ABCD是正方形，

∴BD⊥AC．   -    　∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，

∴DE⊥平面ABCD，    

   　∴DE⊥AC，       

∵BD 、DE在平面BDE內(nèi)，且相交于D，

   　∴AC⊥平面BDE，    

∴BE⊥AC．     

  法二：∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，又∵ABCD是正方形，∴DA、DE、DC兩兩互相垂直，可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

   ∴A，C，B，E，

∴，，

∵，∴，即BE⊥AC．

（Ⅱ）∵AF⊥平面ABCD，DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，又∵ABCD是正方形，

∴DA、DE、DC兩兩互相垂直，可建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，  

   ∴B，C， E，D，

∴，，，  

   ∵點(diǎn)N在棱BE上，∴可設(shè)，

   ∴=，  

   由于CD⊥平面ADE，∴為平面ADE的法向量．

當(dāng)直線CN與平面ADE成30°角時(shí)， 60°，

∴  ，

，解得，∵，∴，---12分

∴BN=．    4