Question

【題目】如圖，在正方體中，直線與平面和平面分別交于點G，H．

求證：點G，H是線段的三等分點；

在棱上是否存在點M，使得二面角的大小為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見解析

【解析】

連結(jié)，交于O，推導(dǎo)出，，，從而平面，設(shè)正方體棱長為1，則由，能求出，同理，，由題意知，由此能證明G，H是線段的三等分點．

以D為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出棱上不存在點M，使得二面角的大小為．

證明：連結(jié)，交于O，

正方體，，且平面，

平面，，又，

平面，平面，，

同理，，又，平面，

設(shè)正方體棱長為1，則由，得：

，

解得，

同理，，由題意知，

，H是線段的三等分點．

解：如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)，

即m，，，則1，，0，，1，，

由知是平面的一個法向量，且，

，，

設(shè)平面MBD的一個法向量為，

則，令，得，

由，得，

由，得m無解，

故棱上不存在點M，使得二面角的大小為．