Question

 (本小題滿分12分)

設A₁、A₂是雙曲線的實軸兩個端點，P₁P₂是雙曲線的垂直于軸的弦，

（Ⅰ）直線A₁P₁與A₂P₂交點P的軌跡的方程；

（Ⅱ）過與軸的交點Q作直線與（1）中軌跡交于M、N兩點，連接FN、FM，其中F,求證：為定值；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（ ；（Ⅱ）見解析。

【解析】（Ⅰ）利用交軌法來求直線P₁A₁和P₂A₂的交點的軌跡方程，先根據已知條件求出A₁、A₂點的坐標，設P（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），求出直線PA₁和NA₂的方程，聯立方程，方程組的解為直線PA₁和NA₂交點的坐標，再把P點坐標（x₀，y₀）用x，y表示，代入雙曲線方程，化簡即得軌跡C的方程．

（Ⅱ）設的方程為，，直線MN的方程與曲線C的方程聯立消y可得關于x的一元二次方程，解出M，N點橫坐標之和與之積代入下式即可證明為定值．

（Ⅰ）設,則的方程為    ①

的方程為   ②  將①×②，得

又在雙曲線上，，即，

代入上式 ，得（               ………5分

（Ⅱ）法一：設的方程為，

聯立，得  消，得

則

..12分