Question

設(shè)函數(shù)fn(x)=xn+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f₂（x）在區(qū)間（

1

2

，  1）內(nèi)不存在零點(diǎn)；
②函數(shù)f₃（x）在區(qū)間（

1

2

，  1）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
③?n∈N^*，且n≥4，函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，  1)內(nèi)存在零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為

②③

．

Answer 1

分析：①判斷函數(shù)f₂（x）=x²+x-1在區(qū)間（

1

2

，1）上取值情況．②利用f3(x)=x3+x-1的單調(diào)性判斷．③利用根的存在定理判斷．

解答：解：①因?yàn)閒₂（x）=x²+x-1，所以f2(1)=1＞0，f2(

1

2

)=

1

4

+

1

2

-1=-

1

4

＜0，所以f₂（x）在區(qū)間（

1

2

，1）上存在零點(diǎn)，所以①錯(cuò)誤．
②由題意知f3(x)=x3+x-1．因?yàn)?span id="zvbn5ft" class="MathJye">f3(1)=1＞0，f3(

1

2

)=

1

8

+

1

2

-1=-

3

8

＜0，所以f₃（x）在區(qū)間（

1

2

，1）上存在零點(diǎn)，
又因?yàn)?span id="55jzzln" class="MathJye">f3(x)=x3+x-1為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)f₃（x）在區(qū)間（

1

2

，  1）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，所以②正確．
③?n∈N^*，且n≥4，fn(1)=1＞0，fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1=(

1

2

)n-

1

2

＜0，所以函數(shù)f_n（x）在區(qū)間(

1

2

，  1)內(nèi)存在零點(diǎn)，所以③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷，判斷函數(shù)零點(diǎn)問題主要是利用根的存在定理，判斷區(qū)間短點(diǎn)處的函數(shù)值符合相反即可．