Question

某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有四個獎勵模型：y=

1

4

x，y=lgx+1，y=（

3

2

）^x，y=

x

，其中能符合公司要求的模型是（　　）

• A、y=

  1

  4

  x
• B、y=lgx+1
• C、y=（

  3

  2

  ）^x
• D、y=

  x

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用,對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長差異

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x•25%，然后一一驗證即可．

解答： 解：由題意，符合公司要求的模型需同時滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x•25%，
對于y=

1

4

x，易知滿足①，但當x＞20時，y＞5，不滿足公司的要求；
對于y=(

3

2

)x，易知滿足①，∵1.5⁴＞5，故當x＞4時，不滿足公司的要求；
對于y=

x

，易知滿足①，∵當x＞25時，y＞5，不滿足公司的要求；
對于y=lgx+1，易知滿足①，當x∈[10，1000]時時，2≤y≤4滿足②
再證明lg+1≤x•25%，即2lgx+4-x≤0，
設F（x）=2lgx+4-x，則F′（x）=

2

xln10

-1＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上為減函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（10）=2lg10+4-10=-4＜0，滿足③
綜上，獎勵模型y=lgx+1能完全符合公司的要求．
故選：B．

點評：本題考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，構造函數(shù)F（x）=2lgx+4-x，利用導數(shù)研究其單調性與最值是關鍵，也是難點所在，突出考查轉化思想與綜合分析的能力，屬于難題．