Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點恰與拋物線y²=4

3

x的焦點重合，橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．圓C₂以坐標(biāo)原點為圓心，C₁的長軸為直徑（如圖）．C是橢圓短軸端點，動直線AB過點C且與圓C₂交于AB兩點，D為橢圓上的點且滿足

CD

•

AB

=0．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求△ABD面積的最大值，并求此時直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出c=

3

，2a=4，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線AB斜率為0時，S_△ABC=2

3

；當(dāng)直線AB斜率不為0時，設(shè)直線AB：y=kx+1，則直線CD：y=-

1

k

x+1，由

x2 4 +y2=1 y=- 1 k x+1

，得（k²+4）x²-8kx=0，由此能求出△ABC面積最大值和直線AB的方程．

解答： （本小題滿分（12分），（1）小問（4分），（2）小問8分）
解：（1）由題意知拋物線y2=4

3

x的焦點為(

3

，0)，
則橢圓中c=

3

，
又由2a=4且a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
故橢圓方程是

x2

4

+y2=1…（4分）
（2）因為

CD

•

AB

=0，
所以直線AB垂直直線CD，顯然直線AB斜率存在．
①當(dāng)直線AB斜率為0時，即AB∥x軸，
此時|AB|=2

3

，|CD|=2，S△ABC=

1

2

|AB|•|CD|=2

3

…（5分）
②當(dāng)直線AB斜率不為0時，
設(shè)直線AB：y=kx+1，則直線CD：y=-

1

k

x+1，
所以圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

1

1+k2

，
所以直線AB被圓C₂所截得的弦|AB|=2

4-d2

=

2 4k2+3

k2+1

…（7分）
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 k x+1

，得（k²+4）x²-8kx=0，
所以△=64k²＞0（k≠0）恒成立，xC+xD=

8k

k2+4

，…（8分）
則|CD|=

1+( 1 k )2

(xC+xD)2-4xCxD

=

8 k2+1

k2+4

…（9分）
所以S△ABC=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

×

2 4k2+3

k2+1

×

8 k2+1

k2+4

=

8 4k2+3

k2+4

…（10分）
令t=

4k2+3

，則k2=

t2-3

4

，t²＞3，
S△ABC=

8t

t2-3 4 +4

=

32t

t2+13

=

32

t+ 13 t

≤

32

2 13

=

16 13

13

，…（11分）
當(dāng)t=

13

t

⇒t=

13

，即

4k2+3

=

13

⇒k=±

10

2

時，等號成立．
綜上述，△ABC面積最大值為

16 13

13

，
此時直線AB的方程為y=±

10

2

x+1…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形最大面積的求法，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．