Question

20．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，且焦距為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l過點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由條件得b=c=2，a²=b²+c²=8，解出即可；
（2）直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2（k≠0），聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y得關(guān)于x的方程，運(yùn)用弦長公式以及三角形的面積公式，再由基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
則由條件得，b=c=2，a²=b²+c²=8
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2（k≠0），
由y=kx+2和橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，聯(lián)立，消去y得
（1+2k²）x²+8kx=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，=0，x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$|，
又O到直線AB的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=|$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$|=$\frac{8}{\frac{1}{|k|}+2|k|}$≤$\frac{8}{2\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取等號(hào)，
此時(shí)直線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)及運(yùn)用，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，和弦長公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．