Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調性，并給予證明；
（3）當實數(shù)λ為何值時，關于x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解？

Answer 1

（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
得f（0）=0．
∴在區(qū)間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1     x∈(0，1) - 2x 4x+1      x∈(-1，0) 0               x∈{-1，0，1}

（2）證明當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

，設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調遞減．
（3）由（2）得，函數(shù)f（x）在區(qū)間在（-1，1）上的取值范圍是（

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，

2

5

）∪{0}．
∴當實數(shù)λ∈（

2

5

，

1

2

）∪（-

1

2

，

2

5

）∪{0}時，關于x的方程f（x）=λ在（-1，1）上有解