Question

已知圓C：（x-1）²+y²=9內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過(guò)點(diǎn)P作直線l交圓C于A、B
（1）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫(xiě)出直線l的方程；
（2）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)．
（3）設(shè)圓C與x軸交于M、N兩點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)Q使∠MQN=45°．試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，我們易確定圓心C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線PC的斜率，然后根據(jù)弦AB被點(diǎn)P平分，我們易得l與直線PC垂直，利用點(diǎn)斜式易求出滿(mǎn)足條件的直線l的方程；
（2）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，斜率為1，由此我們可得到直線l的方程，代入點(diǎn)到直線距離公式，求出弦心距，然后根據(jù)弦心距，半弦長(zhǎng)，半徑構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)足勾股定理，得到弦AB的長(zhǎng)．
（3）由圓C與x軸交于M、N兩點(diǎn)，我們易求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)動(dòng)點(diǎn)Q使∠MQN=45°，構(gòu)造關(guān)于動(dòng)點(diǎn)（x，y）的方程，整理即可得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答：解（1）已知圓C：（x-1）²+y²=9的圓心為C（1，0），因直線過(guò)點(diǎn)P與PC垂直，所以直線l的斜率為-

1

2

，
直線l的方程為y-2=-

1

2

（x-2），即  x+2y-6=0．
（2）當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，斜率為1，直線l的方程為y-2=x-2，即 x-y=0
圓心C到直線l的距離為

1

2

，圓的半徑為3，弦AB的長(zhǎng)為

34

．
（3）∵圓C與x軸交于M（-2，0），N（4.0）兩點(diǎn)∴tan45°=|

kMQ-kNQ

1+kMQ×．kNQ

|．
1=|

y x+2 _ y x-4

1+ y x+2 × y x-4

|
1=|

-6y

x2-2x-8+y2

|
x²-2x-8+y²=6y或x²-2x-8=-6y∴Q點(diǎn)的軌跡方程是：（x-1）²+（y-3）²=18（y＞0），或（x-1）²+（y+3）²=18（y＜0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，軌跡方程，其中由于直線l過(guò)點(diǎn)P（2，2），故使用點(diǎn)斜式方程求解比較簡(jiǎn)便．