已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，其中，a為實(shí)常數(shù)且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若數(shù)學(xué)公式對(duì)任意x∈（-1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（Ⅰ）
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），所以x+1＞0
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）
當(dāng)a＜0時(shí)，2（x+1）2＞-a，即時(shí)f′（x）＞0，
此時(shí)f（x）的單增區(qū)間為
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)增，而當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞
所以此時(shí)f（x）無(wú)最小值，不合題意
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在上單調(diào)減，在上增，
所以恒成立，即
，得
分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再看當(dāng)x取什么值時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0，當(dāng)x取什么值時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于0，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）因由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)增，而當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞所以此時(shí)f（x）無(wú)最小值，不合題意，故只要考慮當(dāng)a＜0時(shí)的情形即可，欲使得恒成立，只須小于等于f（x）的最小值即可，由此得不等式解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題、函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間等知識(shí)．屬于基礎(chǔ)題．恒成立問(wèn)題多需要轉(zhuǎn)化，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)轉(zhuǎn)化才能使恒成立問(wèn)題得到簡(jiǎn)化；轉(zhuǎn)化過(guò)程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

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