Question

17．已知球O與棱長均為4$\sqrt{2}$的四面體ABCD的各條棱都相切，則平面ABC截球的截面面積為$\frac{8}{3}$π．

Answer 1

分析 將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線，根據(jù)球O與正四面體的各棱都相切，可得球O的直徑為正方體的棱長，從而可求平面ABC截球的截面面積．

解答 解：將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線．
∵正四面體ABCD的棱長為4$\sqrt{2}$
∴正方體的棱長為4
∵球O與正四面體的各棱都相切，
∴球O的直徑為正方體的棱長4，
設(shè)平面ABC截球O的截面圓的圓心為M，圓M與AB相切于點N，則OM⊥平面ABC，如圖2所示，

由正方體性質(zhì)知M為體對角線PD與平面ABC的交點，且OM=$\frac{1}{6}$PD=$\frac{1}{6}$×$4\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△OMN中，MN=$\sqrt{O{N}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
∴平面ABC截球的截面面積為$\frac{8}{3}$π．
故答案為：$\frac{8}{3}$π．

點評 本題考查球的表面積公式解題的關(guān)鍵是將正四面體ABCD，補成正方體，屬于中檔題．．