Question

10．如圖，在正四面體ABCD中，點E為BC中點，點F為AD中點，則異面直線AE與CF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 可考慮用空間向量求異面直線AE與CF所成角的余弦值，取一組空間基底為{$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CD}$}，用這組基底分別表示出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$，可設(shè)正四面體的棱長為1，這樣即可求出$|\overrightarrow{AE}|，|\overrightarrow{CF}|$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$，從而根據(jù)$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$求出$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞$，這樣便可得到異面直線AE與CF所成角的余弦值．

解答 解：$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}）$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$；
設(shè)正四面體的棱長為1，則$|\overrightarrow{AE}|=|\overrightarrow{CF}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$$+\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CA}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$；
$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=-\frac{2}{3}$；
∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 考查用空間向量求異面直線所成角余弦值的方法，等邊三角形的中線也是高線，直角三角形的邊角關(guān)系，以及向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量夾角的余弦公式，弄清異面直線所成角和異面直線的方向向量夾角的關(guān)系．