Question

（一、二級(jí)達(dá)標(biāo)校做）
已知函數(shù)f（x）=2x+

λ

2x

(x∈R，λ∈R)．
（Ⅰ） 討論函數(shù)的f（x）奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，討論方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈[-1，1]上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)情況，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分λ=1、λ=-1、λ≠±1三種情況分別利用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性．
（Ⅱ）方程即 2x+

1

2x

=μ，令t=2^x，由于-1≤x≤1，可得

1

2

≤t≤2，g（t）=t+

1

t

 的值域?yàn)閇2，2]，由此求出方程t+

1

t

=μ的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵x∈R，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
當(dāng)λ=1時(shí)，f（-x）=2-x+

1

2-x

=2x+

1

2x

=f（x），此時(shí)f（x）為偶函數(shù)．
當(dāng)λ=-1時(shí)，f（-x）=2-x+

-1

2-x

=

1

2x

-2x=-f（x），此時(shí)f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)λ≠±1時(shí)，f（-x）=2-x+

λ

2-x

，顯然f（-x）≠f（x），且 f（-x）≠-f（x），故f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，f（x）=2x+

1

2x

，方程f（x）=μ（μ∈R），即 2x+

1

2x

=μ．
令t=2^x，由于-1≤x≤1，∴

1

2

≤t≤2．
再由 g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)．
∴g（t）的最小值為g（1）=2，最大值為f（

1

2

）=

5

2

，或 g（2）=

5

2

，
故 g（t）的值域?yàn)閇2，2]，方程即t+

1

t

=μ．
當(dāng)μ＜2或μ＞

5

2

時(shí)，解的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)μ=2時(shí)，解的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)2＜μ≤

5

2

解的個(gè)數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性的判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．