Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ（cosθ-sinθ）=6．
（I）在曲線C上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最大，并求出此最大值；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁交C于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （I）化極坐標(biāo)方程為 普通方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離，利用三角函數(shù)的最值求出此最大值；
（Ⅱ）求出橢圓的參數(shù)方程，利用此時(shí)的幾何意義，求解點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）直線l：ρ（cosθ-sinθ）=6化成普通方程為x-y-6=0．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），則點(diǎn)P到直線l的距離為：
$d=\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（\frac{π}{3}-α）-6|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)$sin（\frac{π}{3}-α）$=-1時(shí)，點(diǎn)P（-$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$），
此時(shí)$lche2ms_{max}=\frac{|-2-6|}{\sqrt{2}}$=$4\sqrt{2}$．…（5分）
（Ⅱ）曲線C化成普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，即x²+3y²=3，
l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入x²+3y²=3化簡(jiǎn)得${2t}^{2}-\sqrt{2}t-2=0$，
得t₁t₂=-1，所以點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積：1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．