Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

m2+1

+

y2

2m

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，且在此橢圓上使△F₁PF₂為直角三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，則m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出

2

2

＜e＜1，e=

c

a

=

m2+1-2m

m2+1

，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：由題意有可得，以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，
又離心率越大，橢圓越扁，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，b=c，
橢圓離心率為e=

c

a

=

c

2 c

=

2

2

，
∴

2

2

＜e＜1，
∵F₁、F₂是橢圓

x2

m2+1

+

y2

2m

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴e=

c

a

=

m2+1-2m

m2+1

，
∴

2

2

＜

m2-2m+1

m2+1

＜1，
∴

1

2

＜

m2-2m+1

m2+1

＜1，
∴

1

2

m2+

1

2

＜m²-2m+1，
整理，得m2 -4m+1＞0，
解得2-

3

＜m＜2+

3

．
∴m的取值范圍為（2-

3

，2+

3

）．
故答案為：（2-

3

，2+

3

）．

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)m的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意不等式知識的靈活運(yùn)用．