長方形ABCD，AB=2
2
，BC=1，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）過點(diǎn)p（0，2）的直線m與（1）中橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線m的方程：
（3）過點(diǎn)p（0，2）的直線l交（1）中橢圓與M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，直線l的方程；若不存在，說明理由．
（1）由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-
2
，0），（
2
，0），（
2
，1）．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．
則2a=AC+BC，
即2a=
(2
2
)2+1
+1=4＞2
2
，所以a=2．
所以b2=a2-c2=4-2=2．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx+2，
由
y=kx+2
x2
4
+
y2
2
=1
，得（2k2+1）x2+8kx+4=0，
∵直線m與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=64k2-16（k2+1）=0，解得k=±
3
3
．
∴直線m的方程為y=
3
3
x，或y=-
3
3
x．
（3）由題意知，直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2．
由
y=kx+2
x2+2y2=4
，得（1+2k2）x2+8kx+4=0．
因?yàn)镸，N在橢圓上，
所以△=64k2-16（1+2k2）＞0．
設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．
則x1+x2=-
8k
1+2k2
，x1x2=
4
1+2k2
，
若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，則
OM
⊥
ON
，
所以x1x2+y1y2=0，
所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，
即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，
所以，
4(1+k2)
1+2k2
-
16k2
1+2k2
+4=0，即
8-4k2
1+2k2
=0，
得k2=2，k=±
2
．
經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)△=48＞0．
所以直線l的方程為y=
2
x+2，或y=-
2
x+2．
即所求直線存在，其方程為y=
2
x+2，或y=-
2
x+2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題12分）已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M，若為定值嗎？證明你的結(jié)論。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求證：直線L過定點(diǎn)；
②求點(diǎn)E的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2
+y2=1，其右焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過點(diǎn)F與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
4
2
3
．
（1）求直線l的方程；
（2）求△OAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓C：
x2
9
+
y2
4
=1，斜率為k的直線l與橢圓相交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)A是線段MN的中點(diǎn)，直線OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率是k′，那么kk′=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線交于另一點(diǎn)Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過點(diǎn)F，求弦長|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，一條準(zhǔn)線方程為x=4．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M，設(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)拋物線y2=2px（p為常數(shù)）的準(zhǔn)線與X軸交于點(diǎn)K，過K的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則
OA
•
OB
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓
x2
4
+y2=1共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為
3
3
2
；
（1）求橢圓與雙曲線的離心率e1、e2；
（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與漸近線方程；
（3）已知直線l：y=
1
2
x+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案