（2012•江西模擬）已知函數(shù)f(x)=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin2
x
3
．
（Ⅰ）若x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．
分析：由題意先對(duì)f(x)=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin2
x
3
進(jìn)行化簡(jiǎn)變形得到f(x)=2sin(
2
3
x+
π
6
)-1
（I）x∈[0，π]，代入求得相位的取值范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得值域；
（II）由f（C）=1，及b2=ac，進(jìn)行化簡(jiǎn)整理得出關(guān)于sinA的方程，再求出sinA的值．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin2
x
3

=
3
sin
2x
3
+cos
2x
3
-1=2sin(
2x
3
+
π
6
)-1．…（3分）
∵x∈[0，π]，
∴
π
6
≤
2x
3
+
π
6
≤
5π
6
．
∴
1
2
≤sin(
2x
3
+
π
6
)≤1．
∴f（x）的值域?yàn)閇0，1]．…（4分）
（Ⅱ）∵f(C)=2sin(
2C
3
+
π
6
)-1=1．
∴sin(
2C
3
+
π
6
)=1．
而C∈（0，π），
∴C=
π
2
．…（2分）
在Rt△ABC中，∵b2=ac，c2=a2+b2，
∴c2=a2+ac⇒(
a
c
)2+
a
c
-1=0．
解得
a
c
=
-1±
5
2
．
∴0＜sinA＜1，
∴sinA=
a
c
=
5
-1
2
．…（3分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變化與化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換公式，對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求值，本題考查了函數(shù)與方程的思想及運(yùn)算變形的能力，是三角函數(shù)中有一定綜合性的題．
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AC
+a
PA
+b
PB
=
0
，則△ABC的形狀為（　�。�

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1anan+1
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和Tn；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn，成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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（2012•江西模擬）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1，x∈R，將函數(shù)f（x）向左平移
π
6
個(gè)單位后得函數(shù)g（x），設(shè)△ABC三個(gè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．
（Ⅰ）若c=
7
，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且
m
=(cosA，cosB)，
n
=(1，sinA-cosAtanB)，求
m
•
n
的取值范圍．

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（2012•江西模擬）過(guò)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸進(jìn)線的交點(diǎn)分別為B、C．若
AB
=
1
2
BC
，則雙曲線的離心率是
5
5
．

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