Question

已知無窮數(shù)列的前項和為，且滿足，其中、、是常數(shù).

（1）若，，，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，，，且，求數(shù)列的前項和；

（3）試探究、、滿足什么條件時，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3），或或，．

【解析】

試題分析：（1）已知與的關(guān)系，要求，一般是利用它們之間的關(guān)系，把，化為，得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項公式；（2）與（1）類似，先求出，時，推導(dǎo)出與之間的關(guān)系，求出通項公式，再求出前項和；（3）這是一類探究性命題，可假設(shè)結(jié)論成立，然后由這個假設(shè)的結(jié)論來推導(dǎo)出條件，本題設(shè)數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，則，，代入恒成立的等式，得

對于一切正整數(shù)都成立，所以，，，得出這個結(jié)論之后，還要反過來，由這個條件證明數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，才能說明這個結(jié)論是正確的．在討論過程中，還要討論的情況，因為時，，，當(dāng)然這種情況下，不是等比數(shù)列，另外．

試題解析：（1）由，得；            1分

當(dāng)時，，即    2分

所以；                  1分

（2）由，得，進而，  1分

當(dāng)時，

得，

因為，所以，        2分

進而                2分

（3）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，

①當(dāng)時，，

由，得恒成立.

所以，與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾；           1分

②當(dāng)，時，，，    1分

由恒成立，

得對于一切正整數(shù)都成立

所以，或或，         3分

事實上，當(dāng)，或或，時，

，時，，得或

所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列       2分

考點：與的關(guān)系：，等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義．