Question

直三棱柱ABC-A₁B₁ C₁的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB=BC=2，∠ABC=90°，AA₁=2

2

，則球O的表面積為（　�。�

A．4π

B．8π

C．24π

D．16π

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得AB、BC、BB₁兩兩互相垂直．因此直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，就是以AB、BC、BB₁為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)角線公式算出球的直徑，再利用球的表面積公式加以計(jì)算，可得球O的表面積．

解答：解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
∴AB、BC、BB₁兩兩互相垂直．
因此，以AB、BC、BB₁為長(zhǎng)、寬、高作長(zhǎng)方體，
該長(zhǎng)方體的外接球經(jīng)過直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個(gè)頂點(diǎn)．
∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于

AB2+BC2+BB12

=

22+22+(2 2 )2

=4．
∴長(zhǎng)方體的外接球直徑2R=4，得R=2．
由此可得外接球的表面積為S=4πR²=16π．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的三棱柱，求它的外接球的表面積．著重考查了直三棱柱的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的對(duì)角線公式和球的表面積計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．