Question

已知四棱錐S--ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，點E是SC上任意一點.

（Ⅰ）求證：平面EBD平面SAC；

（Ⅱ）設SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離；

（Ⅲ）當的值為多少時，二面角B-SC-D的大小為120°。

Answer 1

證明（Ⅰ）：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

∵SA⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴SA⊥BD，

∵SAAC=A，∴BD⊥面SAC，

又∵BD面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC

解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，BD^面SAC，

又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，

設ACBD=O，

則平面SBD平面SAC=SO，過A作AF^SO交SO于點F,則AF^面SBD，

所以線段AF的長就是點A到平面SBD的距離.

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，

又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，∴點A到平面SBD的距離為

解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，連結DM，

∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，

又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，

∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM

要使∠BMD=120°,只須，

即BM²=，而BD²=2AB²，∴BM²=AB²，

∵BM×SC=SB×BC，SC²=SB²+BC²，

∴BM²×SC²=SB²×BC²，∴AB²(SB²+BC²)= SB²×BC²，

∵AB=BC，∴2SB²+2AB²=3SB²，∴SB²=2AB²，

又∵AB²=SB²-SA²，∴AB²=SA²，∴，

故當時，二面角B-SC-D的大小為120

解法二：

證明（Ⅰ）同解法一

∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，

∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，

如圖，建立直解坐標系A-xyz.

（Ⅱ）A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），

設平面SBD的法向量為，則⊥，⊥，

∴，，而=（2，0，-4），=（0，2，-4）

∴，∴x=2,y=2,即，

則點A到平面SBD的距離d==

（Ⅲ）設AB=a，SA=b，則A（0，0，0），B（a，0，0），C(a,a,0),D（0，a，0），S（0，0，b）,SB=；

設平面SBC的法向量=(x₁,y₁,-1),平面SDC的法向量=（x₂,y₂,1）

則,而=（0，a,0）,=(-a,0,0),=(a,a,-b)

∴,

∴x₁=,y₁=0，x₂=0,y₂=

∴=(,0,-1),=(0, ,1),

∴cos<,>==,

要使二面角B-SC-D的大小為120，

只需=-，即a=b,∴，

故當時，二面角B-SC-D的大小為120