Question

設(shè)橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2

21

，左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為3

7

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上有不同兩點(diǎn)P、Q，且OP⊥OQ，過(guò)P、Q的直線為l，求點(diǎn)O到直線l的距離．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），b=

21

．由-c-（

-a2

c

）=3

7

，得c=

7

．由此能求出橢圓C的方程．
（2）若直線l的斜率不存在，設(shè)l與x正半軸交于點(diǎn)M，將x=y代入

x2

28

+

y2

21

=1中，得到點(diǎn)P（2

3

，2

3

），Q（2

3

，-2

3

），于是點(diǎn)O到l的距離為2

3

．若直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=kx+m（k，m∈R），則點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答：解：設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則2b=2

21

，b=

21

．
由-c-（

-a2

c

）=3

7

，即

a2-c2

c

=

b2

c

=3

7

，得c=

7

．
于是a²=b²+c²=21+7=28，橢圓C的方程為

x2

28

+

y2

21

=1．（5分）
（2）若直線l的斜率不存在，即l⊥x軸時(shí)，不妨設(shè)l與x正半軸交于點(diǎn)M，將x=y代入

x2

28

+

y2

21

=1中，得x=y=±2

3

，則點(diǎn)P（2

3

，2

3

），Q（2

3

，-2

3

），于是點(diǎn)O到l的距離為2

3

．（7分）
若直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=kx+m（k，m∈R），則點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組

y=kx+m x2 28 + y2 21 =1

的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
消去y，整理，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-84=0，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-84）=12（28k²-m²+21）＞0，①
x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁•x₂=

4m2-84

3+4k2

．②（9分）
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，x₁x₂+y₁y₂=0．
于是x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．③
將x₁+x₂，x₁x₂代入上式，得（1+k²）•

4m2-84

3+4k2

-km

8km

3+4k2

+m²=0，
∴（k²+1）（4m²-84）-8k²m²+m²（4k²+3）=0，
化簡(jiǎn)，得m²=12（k²+1）．④
④代入①滿足，因此原點(diǎn)O到直線l的距離d=

|-m|

k2+1

=

12

=2

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地選用公式．