Question

已知橢圓C:3x²+4y²=12,試確定m的取值范圍,使得對(duì)于直線l:y=4x+m,橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱.

Answer 1

思路分析:解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造不等式來求m的范圍,一般采用判別式,或點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系.

解法一:設(shè)橢圓C上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn)為P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),其所在直線方程為y=-x+b,代入橢圓方程3x²+4y²=12.

    整理得13x²-8bx+16b²-48=0,

∵x₁≠x₂,

∴Δ=-12(4b²-13)＞0.

解得-＜b＜.                                                         ①

又∵,

而點(diǎn)()又在直線y=4x+m上,

∴m=.                                            ②

把①代入②得m的取值范圍是-＜m＜.

解法二:由解法一知2x₀=x₁+x₂=,x₁x₂=.

其中PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為M(x₀,y₀),

由

消去y₀,把x₀=b代入可解得m=-b,x₀=-m,

根據(jù)中點(diǎn)M的位置,必有(x₁-x₀)(x₂-x₀)＜0,即x₁x₂-x₀(x₁+x₂)+x₀²＜0.

由此解得-＜m＜.

解法三:設(shè)橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)為P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),PQ的中點(diǎn)M(x₀,y₀).

則可求得.                                           ①

又點(diǎn)M在l上,

∴y₀=4x₀+m.                                                               ②

由①②聯(lián)立解得x₀=-m,y₀=-3m.

∵M(jìn)(-m,-3m)在橢圓的內(nèi)部,

∴3(-m)²+4(-3m)²＜12,

解得-＜m＜.