Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）對(duì)一切的實(shí)數(shù)x，y都成立，并且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）記g（x）=f²（x），求使g（3x-1）＜g（2x-9）成立的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=y=0得f（0）=2f（0），故f（0）=0．又令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），故f（-x）=-f（x），從而f（x）是奇函數(shù)；
（2）法一：因f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，故當(dāng)x＜0時(shí)f（x）=-f（-x）＜0．又因?yàn)閒（0）=0，所以x＞0?f（x）＞0，x＜0?f（x）＜0．由題得f²（3x-1）＜f²（2x-9）?[f（3x-1）+f（2x-9）][f（3x-1）-f（2x-9）]＜0?f（3x-1+2x-9）•f（3x-1-2x+9）＜0?或?或，解得-8＜x＜2．
法二：因f（x）是奇函數(shù)，故g（x）是偶函數(shù)，得g（x）=g（|x|），故g（|3x-1|）＜g（|2x-9|）．
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函數(shù)．又當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)．所以|3x-1|＜|2x-9|，平方可得（3x-1）²＜（2x-9）²?（x+8）（5x-10）＜0?-8＜x＜2．
法三：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，故0＜f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁），即f（x₁）＜f（x₂），因此f（x）是R上的增函數(shù)．又當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，故g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)．因f（x）是奇函數(shù)，故g（x）是偶函數(shù)．
（1）當(dāng)即時(shí)，有3x-1＜2x-9，解得x＜-8；
（2）當(dāng)即時(shí)，有g(shù)（1-3x）＜g（9-2x），故1-3x＜9-2x，即x＞-8；
（3）當(dāng)即時(shí)，有g(shù)（3x-1）＜g（9-2x），故3x-1＜9-2x，解得x＜2；
（4）當(dāng)時(shí)，x∈Φ．綜上可知-8＜x＜2．
分析：（1）可根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y）對(duì)一切的實(shí)數(shù)x，y都成立而采用賦值法，從而可判斷其奇偶性；
（2）法一：根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0?x＜0時(shí)f（x）＜0，反之亦然；即x＞0?f（x）＞0，x＜0?f（x）＜0；從而f²（3x-1）＜f²（2x-9）?[f（3x-1）+f（2x-9）][f（3x-1）-f（2x-9）]＜0?f（3x-1+2x-9）•f（3x-1-2x+9）＜0，繼而可得，解得x的取值范圍；
法二：利用f（x）是奇函數(shù)，可得g（x）是偶函數(shù)，從而得g（|3x-1|）＜g（|2x-9|）；利用定義判斷f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)，于是可得|3x-1|＜|2x-9|，兩端平方后即可解得x的取值范圍；
法三：利用f（x）是R上的增函數(shù)，可證得g（x）在[0，+∞）是增函數(shù)，因再利用f（x）是奇函數(shù)，故g（x）是偶函數(shù)，對(duì)3x-1與2x-9分同時(shí)大于或等于0，時(shí)小于或等于0，一個(gè)大于0而另一個(gè)小于0或一個(gè)小于0而另一個(gè)大于0四種情況分類討論解決，最后取其并集即可解得x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，三種方法從三個(gè)不同的角度分析解決，第二種方法更值得學(xué)生學(xué)習(xí)，屬于難題．