Question

某海域內(nèi)一觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東50°且與A相距80海里的位置B，經(jīng)過1小時又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東50°+θ其中sin θ=

15

8

，0°＜θ＜90°且與A相距60海里的位置C．
（1）求該船的行駛速度；
（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛，求船在行駛過程中離觀測站A的最近距離．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）如圖所示，由sinθ=

15

8

，可得cosθ=

7

8

，在△ABC中，由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosθ，代入即可得出．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得sinB，過A作BC的垂線，交BC的延長線于D，則AD的長是船離觀測站的最近距離．在Rt△ABD中，可求．

解答： 解：（1）如圖，AB=80，AC=60，∠BAC=θ，sinθ=

15

8

．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=

7

8

．
由余弦定理得BC=

AB2+AC2-2AB•ACcosθ

=40海里/小時，
所以該船的行駛速度為40海里/小時．
（2）在△ABC中，由正弦定理得

BC

sinθ

=

AC

sinB

，則sinB=

AC•sinθ

BC

=

60× 15 8

40

=

3 15

16

，
過A作BC的垂線，交BC的延長線于D，則AD的長是船離觀測站的最近距離．
在Rt△ABD中，AD=AB•sin B=80×

3 15

16

=15

15

海里，
故船在行駛過程中離觀測站A的最近距離為15

15

海里．

點(diǎn)評：本題考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、行程問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．