已知數列的首項其中,,令集合.
(1)若是數列中首次為1的項,請寫出所有這樣數列的前三項;
(2)求證:對恒有成立;
(3)求證:.
(1)9,3,1或2,3,1;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)從入手,反過來求.從條件可看出,首先分討論,然后分討論.
(2)首先由遞推公式將用表示出來,再與比較即可.
(3)注意.當或2、3時,可求出前三項,前三項就是1、2、3三個數,結論成立.
那么當時,結論是否成立?由遞推公式的結構可以看出,當時,數列中的項最終必將小于或等于3.現在的問題是如何來證明這一點.注意(2)小題的結論,由可得,這說明,“若,則”,這樣依次遞減下去,數列中的項最終必將小于或等于3.一旦小于等于3,則必有1、2、3,從而問題得證.
試題解析:(1)由題設知,數列各項均大于0.
當時,.若,則;若,則.
所以前三項分別為9,3,1或2,3,1.
當時,,不合題意,舍去.
綜上得,前三項分別為9,3,1或2,3,1.
(2)①當被3除余1時,由已知可得,;
②當被3除余2時,由已知可得,.
若仍為3的倍數,則;若不為3的倍數,則.
總之,都有;
③當被3除余0時,由已知可得.
若都是3的倍數,則.
若是3的倍數,不是3的倍數,則.
若不是3的倍數,是3的倍數,則.
以上三種情況,都有;
綜合①②③,有.
(3)注意.若,則,.
若,則,.
若,則,.
以上三種情況都有(實際上).
下面證明,當時,數列中必存在某一項.
由(2)可得,
所以,對于數列中
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
若無窮數列滿足:①對任意,;②存在常數,對任意,,則稱數列為“數列”.
(Ⅰ)若數列的通項為,證明:數列為“數列”;
(Ⅱ)若數列的各項均為正整數,且數列為“數列”,證明:對任意,;
(Ⅲ)若數列的各項均為正整數,且數列為“數列”,證明:存在,數列為等差數列.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知是曲線C:上的一點(其中),過點作與曲線C在處的切線垂直的直線交軸于點,過作與軸垂直的直線與曲線C在第一象限交于點;再過點作與曲線C在處的切線垂直的直線交軸于點,過作與軸垂直的直線與曲線C在第一象限交于點;如此繼續(xù)下去,得一系列的點、、、、。(其中)
(1)求數列的通項公式。
(2)若,且是數列的前項和,是數列的前項
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
數列的各項均為正數,為其前項和,對于任意的,總有成等差數列.
(1)求;
(2)求數列的通項公式;
(3)設數列的前項和為,且,求證:對任意正整數,總有
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