【題目】已知函數(shù)f(x)=k(x﹣1)ex+x2 . (Ⅰ)當(dāng)時k=﹣ ,求函數(shù)f(x)在點(1,1)處的切線方程;
(Ⅱ)若在y軸的左側(cè),函數(shù)g(x)=x2+(k+2)x的圖象恒在f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象的上方,求k的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)k≤﹣l時,求函數(shù)f(x)在[k,1]上的最小值m.
【答案】解:(Ⅰ)k=﹣ 時,f(x)=﹣ (x﹣1)ex+x2,
∴f′(x)=x(2﹣ex﹣1 ),∴f′(1)=1,f(1)=1,
∴函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線方程為y=x,
(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+ )<x2+(k+2)x,
即:kxex﹣x2﹣kx<0,
∵x<0,∴kex﹣x﹣k>0,
令h(x)=kex﹣x﹣k,
∴h′(x)=kex﹣1,
當(dāng)k≤0時,h(x)在x<0時遞減,h(x)>h(0)=0,符合題意,
當(dāng)0<k≤1時,h(x)在x<0時遞減,h(x)>h(0)=0,符合題意,
當(dāng)k>1時,h(x)在(﹣∞,﹣lnk)遞減,在(﹣lnk,0)遞增,
∴h(﹣lnk)<h(0)=0,不合題意,
綜上:k≤1.
(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+ ),
令f′(x)=0,解得:x1=0,x2=ln(﹣ ),
令g(k)=ln(﹣ )﹣k,則g′(k)=﹣ ﹣1≤0,
g(k)在k=﹣1時取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,
∴x2=ln(﹣ )>k,
當(dāng)﹣2<k≤﹣1時,x2=ln(﹣ )>0,
f(x)的最小值為m=min{f(0),f(1)}=min{﹣k,1}=1,
當(dāng)k=﹣2時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[k,1]上遞減,m=f(10=1,
當(dāng)k<﹣2時,f(x)的最小值為m=min{f(x2 ),f(1)},
f(x2 )=﹣2[ln(﹣ )﹣1]+[ln(﹣ )]2= ﹣2x2+2>1,f(1)=1,
此時m=1,
綜上:m=1.
【解析】(Ⅰ)k=﹣ 時,f(x)=﹣ (x﹣1)ex+x2,得f′(x)=x(2﹣ex﹣1 ),從而求出函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線方程;(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+ )<x2+(k+2)x,即:kxex﹣x2﹣kx<0,令h(x)=kex﹣x﹣k,討論當(dāng)k≤0時,當(dāng)0<k≤1時,當(dāng)k>1時,從而綜合得出k的范圍;(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+ ),令f′(x)=0,得:x1=0,x2=ln(﹣ ),令g(k)=ln(﹣ )﹣k,則g′(k)=﹣ ﹣1≤0,得g(k)在k=﹣1時取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,討論當(dāng)﹣2<k≤﹣1時,當(dāng)k=﹣2時,當(dāng)k<﹣2時的情況,從而求出m的值.
【考點精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.
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【題目】如圖,PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上的一點,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,給出下列結(jié)論:①BC⊥平面PAC;②AF⊥平面PCB;③EF⊥PB;④AE⊥平面PBC.其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】下圖是甲、乙兩人在一次射擊比賽中中靶的情況(擊中靶中心的圓面為10環(huán),靶中各數(shù)字表示該數(shù)字所在圓環(huán)被擊中所得的環(huán)數(shù)),每人射擊了6次.
甲射擊的靶 乙射擊的靶
(1)請用列表法將甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計出來;
(2)請你用學(xué)過的統(tǒng)計知識,對甲、乙兩人這次的射擊情況進(jìn)行比較.
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【題目】函數(shù)f(x)=是定義在[-l,1]上的奇函數(shù),且f()=。
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷并用定義證明f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性;
(3)若f(1-3m)+f(1+m)≥0,求實數(shù)m的所有可能的取值。
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【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點.研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)不超過尾/立方米時, 的值為千克/年;當(dāng)時, 是的一次函數(shù),且當(dāng)時, .
()當(dāng)時,求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式.
()當(dāng)養(yǎng)殖密度為多大時,每立方米的魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大?并求出最大值.
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【題目】已知函數(shù),(其中A>0,ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為M(,-2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后,再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮小到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)的解析式.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=xex , 則( )
A.x=1為f(x)的極大值點
B.x=1為f(x)的極小值點
C.x=﹣1為f(x)的極大值點
D.x=﹣1為f(x)的極小值點
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【題目】如圖是某公共汽車線路收支差額(票價總收人減去運(yùn)營成本)與乘客量的函數(shù)圖象.目前這條線路虧損,為了扭虧,有關(guān)部門舉行提高票價的聽證會.乘客代表認(rèn)為:公交公司應(yīng)節(jié)約能源,改善管理,降低運(yùn)營成本,以此舉實現(xiàn)扭虧.公交公司認(rèn)為:運(yùn)營成本難以下降,公司己盡力,提高票價才能扭虧.根據(jù)這兩種意見,可以把圖分別改畫成圖②和圖③,
(1)說明圖①中點和點以及射線的實際意義;
(2)你認(rèn)為圖②和圖③兩個圖象中,反映乘客意見的是_________,反映公交公司意見的是_________.
(3)如果公交公司采用適當(dāng)提高票價又減少成本的辦法實現(xiàn)扭虧為贏,請你在圖④中畫出符合這種辦法的大致函數(shù)關(guān)系圖象.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ ,其中函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=x﹣1.
(1)若a= ,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(x)≥g(x)在[1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)證明:1+ .
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