Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^﹡，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡.
（1）求a_n，b_n，c_n；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（1）由S_n=2n²+n，得
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n∈N^﹡．
又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡．
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=2^n-1，n∈N^﹡
∴==•=（-），
∴c_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=•=．
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，n∈N^﹡
∴T_n=3+7×2+11×2²+…+（4n-1）•2^n-1，①
2T_n=3×2+7×2²+…+（4n-5）•2^n-1+（4n-1）•2ⁿ，②
∴②-①得：T_n=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2+2²+…+2^n-1）]
=（4n-5）2ⁿ+5，
∴T_n=（4n-5）2ⁿ+5，n∈N^﹡．
分析：（1）由S_n=2n²+n可求得a_n；利用等比數(shù)列的通項公式可求得b_n；利用錯位相減法與累加法可求得c_n；
（2）由（1）知a_nb_n=（4n-1）•2^n-1，利用錯位相減法即可求得數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．
點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的概念及錯位相減法的綜合應(yīng)用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．