Question

7．求函數(shù)y=-$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$的值域．

Answer 1

分析 分類得出當(dāng)x=0時(shí)，y=0；當(dāng)x＜0時(shí)y=$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，換元得出設(shè)t=$\frac{1}{x}$，則t＜0，m=2t²+2t+1，在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，（-$\frac{1}{2}$，0）單調(diào)遞增，y=$\frac{1}{\sqrt{m}}$

當(dāng)x＞0時(shí)，y=-$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，設(shè)t=$\frac{1}{x}$，則t＞0，m=2t²+2t+1，在（0，+∞）單調(diào)遞增，m＞1，y=-$\frac{1}{\sqrt{m}}$，再分別利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：∵函數(shù)y=-$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$，的定義域?yàn)镽，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，
設(shè)t=$\frac{1}{x}$，則t＜0，m=2t²+2t+1，在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，（-$\frac{1}{2}$，0）單調(diào)遞增，
y=$\frac{1}{\sqrt{m}}$，
m≥2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
根據(jù)函數(shù)y=$\frac{1}{\sqrt{x}}$的單調(diào)性得出：0$＜y≤\sqrt{2}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，y=-$\frac{1}{\sqrt{2\frac{1}{{x}^{2}}+2\frac{1}{x}}+1}$，
設(shè)t=$\frac{1}{x}$，則t＞0，m=2t²+2t+1，在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴m＞1，y=-$\frac{1}{\sqrt{m}}$
即得出：-1＜y＜0，

綜上得出：函數(shù)y=-$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2x+2}}$的值域?yàn)椋?1，$\sqrt{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了較復(fù)雜的函數(shù)的值域的求解，分類討論的思想，利用函數(shù)單調(diào)性求解值域，換元法思想，屬于中檔題．