Question

直線y=

1

2

x+4與拋物線x²=8y交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀＞0）是拋物線上到焦點(diǎn)距離為4的點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求△ABM的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線x²=8y得：其準(zhǔn)線為y=-2，焦點(diǎn)為（0，2），根據(jù)點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀＞0）是拋物線上到焦點(diǎn)距離為4的點(diǎn)，可得M到準(zhǔn)線距離為4，從而可知M的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線x²=8y方程知橫坐標(biāo)為4，從而可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）由直線y=

1

2

x+4與拋物線x²=8y得點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（-4，2）（8，8）．由于M和A關(guān)于y軸對稱，所以可設(shè)△ABM的外接圓方程為x²+（y-b）²=r²，代入A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)得

16+(2-b)2=r2 64+(8-b)2=r2

，從而可求△ABM的外接圓方程．

解答：解：（1）由拋物線x²=8y得：其準(zhǔn)線為y=-2，焦點(diǎn)為（0，2）
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）（x₀＞0）是拋物線上到焦點(diǎn)距離為4的點(diǎn)
∴M到準(zhǔn)線距離為4，
∴M的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線x²=8y方程知橫坐標(biāo)為4，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，2）
（2）由直線y=

1

2

x+4與拋物線x²=8y得點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（-4，2）（8，8）．
由于M和A關(guān)于y軸對稱，所以可設(shè)△ABM的外接圓方程為x²+（y-b）²=r²，
代入A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)得

16+(2-b)2=r2 64+(8-b)2=r2

∴b=9，r²=65，
所以△ABM的外接圓方程為x²+（y-9）²=65

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線方程為載體，考查拋物線的定義，考查三角形外接圓的求解，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義．