Question

（2006•宣武區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，且在x=1處取得極值，曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，且切線l的傾斜角為鈍角．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=mx²+（m-6）x的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，且在x=1處取得極值，曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，得到關(guān)于b，c，d的關(guān)系式，解出即得解析式；
（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為x³-mx²+（3-m）x=0恰有3個(gè)不等實(shí)根，亦即方程x²-mx+3-m=0有兩個(gè)非零且不等實(shí)根等價(jià)于

△=m2-4(3-m)＞0 3-m≠0

，解出即可得到m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）的圖象過原點(diǎn)得d=0f'（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1處取得極值∴f'（1）=3+2b+c=0      ①
f（x）在原點(diǎn)處切線l的斜率k=f'（0）=c，且c＜0    ②
又∵曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線l與直線y=2x的夾角為45°
∴|

c-2

1+2c

|=1     ③
由①②③可求得，c=-3，b=0
∴f（x）=x³-3x…（7分）
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=mx²+（m-6）x的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
即方程x³-3x=mx²+（m-6）x，亦即x³-mx²+（3-m）x=0恰有3個(gè)不等實(shí)根．
∵x=0是上述方程的一個(gè)根
∴方程x²-mx+3-m=0有兩個(gè)非零且不等實(shí)根
∴

△=m2-4(3-m)＞0 3-m≠0

 
解得：m＜-6，或2＜m＜3，或m＞3
所以當(dāng)實(shí)數(shù)m∈（-∞，-6）∪（2，3）∪（3，+∞）時(shí)，
函數(shù)g（x）=mx²+（m-6）x的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有3個(gè)不同交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力．