Question

對(duì)任意x∈R，存在m∈[4，+∞），使得不等式|x-2|+|x-3|≥

m2-m+4

m-1

-n成立，則實(shí)數(shù)n的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用絕對(duì)值不等式可求得|x-2|+|x-3|≥1，問題轉(zhuǎn)化為n≥

m2-m+4

m-1

-1=（m-1）+

4

m-1

（m≥4）恒成立，令t=m-1，則t≥3，轉(zhuǎn)化為n≥t+

4

t

（t≥3）恒成立，只需n≥(t+

4

t

)min即可．

解答： 解：∵|x-2|+|x-3|≥|（x-2）+（3-x）|=1，
∴

m2-m+4

m-1

-n≤1，
∴n≥

m2-m+4

m-1

-1=（m-1）+

4

m-1

（m≥4）恒成立，
令t=m-1，則t≥3，
∴n≥

m2-m+4

m-1

-1=（m-1）+

4

m-1

（m≥4）恒成立，轉(zhuǎn)化為n≥t+

4

t

（t≥3）恒成立，
要求實(shí)數(shù)n的最小值，只需n≥(t+

4

t

)min即可．
令g（t）=t+

4

t

，當(dāng)t≥3，g′（t）=1-

4

t2

＞0，
∴g（t）=t+

4

t

在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（t）_min=g（3）=3+

4

3

=

13

3

，
∴n≥

13

3

，即實(shí)數(shù)n的最小值是

13

3

．
故答案為：

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與恒成立問題，考查雙鉤函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，屬于難題．