Question

下列說法中：
①若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），則6為函數(shù)f（x）的周期；
②若對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，則a＞

11

3

；
③定義：“若函數(shù)f（x）對于任意x∈R，都存在正常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，則稱函數(shù)f（x）為有界泛函．”由該定義可知，函數(shù)f（x）=x²+1為有界泛函；
④對于函數(shù)f(x)=

x-1

x+1

，設(shè)f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₉（x）=x，x∈R}，則集合M為空集．
正確的個數(shù)為（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：依據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷證明，判斷每個命題的正誤．①變形判斷其以6為周期，②分離出a來，利用恒成立求其范圍；③根據(jù)有界函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，確定f（x）=x²+1的性質(zhì)；④先驗證前幾個函數(shù)的表達(dá)式，找出同期再計算求值．

解答：解：①由題設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），得f（x+2）=-f（x-1）=f（x-4），故周期是6，正確．
②對于任意x∈（1，3），不等式x²-ax+2＜0恒成立，即a＞x+

2

x

對于任意x∈（1，3）恒成立，x+

2

x

≥2

2

等號當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

x

=

2

時成立，又當(dāng)x=1，x+

2

x

=3，x=3，x+

2

x

=

11

3

，故a≥

11

3

故不對．
③若命題成立，則必有M≥|x|+

1

|x|

，x∈R恒成立，這是不可能的，故不對．
④由題設(shè)f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=

x+1

x-1

，f₄（x）=

1

x

，f₅（x）=

1-x

x+1

f₆（x）=-x，f₇（x）=f₃（x）=

x+1

x-1

，故從f₃（x）開始組成了一個以f₃（x）為首項，以周期為4重復(fù)出現(xiàn)，由2009=3+501*4+2得f₂₀₀₉（x）=f₅（x），故

1-x

x+1

=x整理得，x²+2x-1=0，有解，故不對．
綜上，僅有①正確
故應(yīng)選A．

點(diǎn)評：考查同期性，恒成立求參數(shù)，利用周期性求值，新定義函數(shù)的正確性驗證，本題作為一個選擇題運(yùn)算量太大，且變形技巧性強(qiáng)，實(shí)為得分不易之題．