Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n∈N₊）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{2ⁿ⁺¹a_n+1}的前n項和為T_n，求

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）再寫一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求出數(shù)列{2ⁿ⁺¹a_n+1}的前n項和為T_n，利用裂項法求

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．

解答： （Ⅰ）證明：∵S_n=2-（

2

n

+1）a_n，
∴n≥2時，S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，
兩式相減，整理可得

an

n

=

1

2

•

an-1

n-1

，
n=1時，a₁=

1

2

，
∴數(shù)列{

an

n

}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

an

n

=

1

2n

，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1=2n+1，
∴T_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

Tn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查裂項法的運用，屬于中檔題．