Question

已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．一個(gè)圓心為M，半徑為的圓在△ABC內(nèi)，沿著△ABC的邊滾動(dòng)一周回到原位．在滾動(dòng)過程中，圓M至少與△ABC的一邊相切，則點(diǎn)M到△ABC頂點(diǎn)的最短距離是    ，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，當(dāng)圓與AC，BC都相切時(shí)，M到C的距離最��；設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為C，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一直角三角形，且與△ABC相似，由此可得結(jié)論．
解答：解：由題意，當(dāng)圓與AC，BC都相切時(shí)，M到C的距離最小，因?yàn)閳A的半徑為，∠C=90°，所以MC=
設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為C，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一直角三角形，且與△ABC相似，如圖，
sin∠B=sin∠B₁DE=
∴B₁D=，∴B₁C₁=4--=
∴，∴C=10
故答案為：，10．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．