Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：
（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面垂直的判定定理先證明AC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，即可證得AC⊥BC₁；
（2）取BC₁與B₁C的交點(diǎn)為O，連DO，則OD是三角形ABC₁的中位線，OD∥AC₁，而AC₁?平面B₁CD，利用線面平行的判定定理
即可得證．
解答：證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁
∴AC⊥BC₁．
（2）設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為O，連接OD，BCC₁B₁為平行四邊形，則O為B₁C中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，
∴OD是三角形ABC₁的中位線，OD∥AC₁，
又∵AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
點(diǎn)評：本題考查直線與平面的平行與垂直，著重考查直線與平面平行的判定定理與直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．