Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A₁O⊥平面ABCD，．
（Ⅰ） 證明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ） 求平面OCB₁與平面BB₁D₁D的夾角θ的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明A₁C⊥平面BB₁D₁D，只要證明A₁C垂直于平面BB₁D₁D內(nèi)的兩條相交直線即可，由已知可證出A₁C⊥BD，取B₁D₁的中點(diǎn)為E₁，通過證明四邊形A₁OCE₁為正方形可證A₁C⊥E₁O．由線面垂直的判定定理問題得證．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OA₁所在直線為x，y，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面OCB₁與平面BB₁D₁D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB₁與平面BB₁D₁D的夾角θ的大�。�
解答：（Ⅰ）證明：∵A₁O⊥面ABCD，且BD?面ABCD，∴A₁O⊥BD；
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A₁O∩AC=O，
∴BD⊥面A₁AC，且A₁C?面A₁AC，故A₁C⊥BD．
在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，
在Rt△A₁OA中，∵，∴A₁O=1．
設(shè)B₁D₁的中點(diǎn)為E₁，則四邊形A₁OCE₁為正方形，∴A₁C⊥E₁O．
又BD?面BB₁D₁D，且E₁0?面BB₁D₁D，且BD∩EO=O，
∴A₁C⊥面BB₁D₁D；
（Ⅱ）解：以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OA₁所在直線為x，y，Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，1，1），
．
由（Ⅰ）知，平面BB₁D₁D的一個法向量，
，．
設(shè)平面OCB₁的法向量為，
由，得，取z=-1，得x=1．
∴．
則=．
所以，平面OCB₁與平面BB₁D₁D的夾角θ為．
點(diǎn)評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，是中檔題．