Question

設(shè)m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ．
（1）當(dāng)m=n=7時(shí)，f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀，求a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）若f（x） 展開(kāi)式中 的系數(shù)是19，當(dāng) m，n變化時(shí)，求x²系數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：（1）分別給f（x）中的x賦值1，-1，兩個(gè)式子相加求出a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）由已知得到m，n滿(mǎn)足的條件，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式中x²的系數(shù)，通過(guò)代入消元得到關(guān)于n的二次函數(shù)，將二次函數(shù)配方求出最小值．

解答：解：（1）分別令x=1，x=-1，得a₀+a₂+a₄+a₆=128
（2）有題設(shè)知，m+n=19
x²的系數(shù)為：

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

m(m-1)+

1

2

n(n-1)
=

1

2

[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-(19-n)n
=(n-

19

2

)2+

323

4

所以，當(dāng)n=10或n=9時(shí)，f（x）展開(kāi)式中x²的系數(shù)最小，為81．

點(diǎn)評(píng)：求展開(kāi)式的系數(shù)和常用的方法是賦值法；（2）中求二次函數(shù)的最值問(wèn)題關(guān)鍵是通過(guò)配方求出對(duì)稱(chēng)軸．