Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
（1）試求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

3

倍（縱坐標(biāo)不變），然后再將新的圖象向軸正方向平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．寫出函數(shù)y=g（x）的解析式并用列表作圖的方法畫出y=g（x）在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：圖表型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由已知中函數(shù)圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．我們易求出函數(shù)的最值及周期，進(jìn)而求出A，ω值，再由圖象在y軸上的截距為1，|φ|＜

π

2

，將（0，1）點(diǎn)代入可求出φ值，即可得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的周期變換及平移變換法則，結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式，即可求出函數(shù)y=g（x）的解析式，用五點(diǎn)法即可做出圖象．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，2）和（x₀+3π，-2）．
∴T=6π，即ω=

2π

T

=

1

3

，A=2，
∴f（x）=2sin（

1

3

x+φ），
又∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象在y軸上的截距為1，
∴函數(shù)圖象過（0，1），
∴sinφ=

1

2

，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（

x

3

+

π

6

）；
（2）∵將y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

3

（縱坐標(biāo)不變），然后再將新的圖象向X軸正方向平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
∴g（x）=2sin[3•

x- π 3

3

+

π

6

]．
整理得：g（x）=2sin（x-

π

6

）．
列表如下：

x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 6	2π 3	7π 6	5π 3	13π 6
y	0	2	0	-2	0

其圖形是：

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的最值，周期，向左平移量，特殊點(diǎn)等，進(jìn)而求出A，ω，φ值，得到函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．