Question

設函數f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經過點(

π

2

，1)．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函數的最小正周期和最值．
（Ⅱ）若f(

π

12

)=

2

sinA，其中A是面積為

3 3

2

的銳角△ABC的內角，且AB=2，求AC和BC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數圖象過一點，把此點的坐標代入，利用特殊角的三角函數值即可求出m的值，進而確定出f（x）的解析式，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，利用周期公式求出f（x）的最小正周期，根據正弦函數的值域得到f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）根據已知的等式，代入確定出的f（x）的解析式，化簡后得到sinA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數，然后根據三角形的面積公式，由AB和sinA的值求出AC的長，最后由AC，AB及cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的長．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經過點(

π

2

，1)，
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，
∴m=1，（2分）
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)．（4分）
∴函數的最小正周期T=2π．（5分）
當x=

π

4

+2kπ(k∈Z)時，f（x）的最大值為

2

，當x=

5π

4

+2kπ(k∈Z)時，f（x）最小值為-

2

．（7分）
（Ⅱ）因為f(

π

12

)=

2

sinA，即f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

，
∵A是面積為

3 3

2

的銳角△ABC的內角，
∴A=

π

3

．（10分）
∵S△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

3

2

3

，
∴AC=3．（12分）
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7，
∴BC=

7

．（14分）

點評：此題考查了三角函數的恒等變形，余弦定理，三角形的面積公式，以及正弦函數的周期及值域．熟練掌握三角函數的恒等變形是解本題的關鍵．