【題目】已知為坐標原點，為橢圓的上焦點，上一點在軸上方，且.

（1）求直線的方程；

（2）為直線與異于的交點，的弦，的中點分別為，若在同一直線上，求面積的最大值.

【答案】(1) 的方程為或.(2)3

【解析】

(1) 設(shè) ，可得，，求出A點坐標，即可得到直線的方程；

(2)利用點差法可得，又因為在同一直線上，所以，所以，設(shè)出直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理即可表示面積，結(jié)合均值不等式即可得到結(jié)果.

解法一：（1）設(shè) ，因為，所以①

又因為點在橢圓上，所以②

由①②解得：或，所以的坐標為或

又因為的坐標為，所以直線的方程為或.

（2）當在第一象限時，直線

設(shè)，則，

兩式相減得：

因為不過原點，所以，即，

同理：

又因為在同一直線上，所以，所以，

設(shè)直線，

由得：，由，得

由韋達定理得：，，

所以，

又因為到直線的距離，

所以

當且僅當，即時等號成立，

所以的面積的最大值為3，

當在第二象限時，由對稱性知，面積的最大值也為3，

綜上，面積的最大值為3.

解法二：（1）同解法一；

（2）當點在第一象限時，直線

由，得：，則中點的坐標為

所以直線

①當直線斜率不存在或斜率為零時，不共線，不符合題意；

②當直線斜率存在時，設(shè)，，

由得：，由，得，

由韋達定理，，，

所以

因為在同一直線上，所以，解得，

所以，，，

所以

又因為到直線的距離為

所以

當，即時，面積的最大值為3，

所以面積的最大值為3，

當在第二象限時，由對稱性知，面積的最大值也為3，

綜上，面積的最大值為3.

練習冊系列答案
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【題目】世界那么大，我想去看看，處在具有時尚文化代表的大學生們旅游動機強烈，旅游可支配收入日益增多，可見大學生旅游是一個巨大的市場.為了解大學生每年旅游消費支出（單位：百元）的情況，相關(guān)部門隨機抽取了某大學的名學生進行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：

組別

頻數(shù)

（Ⅰ）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；

（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為學生的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該所大學共有學生人，試估計有多少位同學旅游費用支出在元以上；

（Ⅲ）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內(nèi)的名學生中有名女生， 名男生，現(xiàn)想選其中名學生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.

附：若，則，

， .

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【題目】閱讀如圖所示的程序框圖，若輸出的數(shù)據(jù)為141，則判斷框中應(yīng)填入的條件為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】世界衛(wèi)生組織的最新研究報告顯示，目前中國近視患者人數(shù)多達6億，高中生和大學生的近視率均已超過七成，為了研究每周累計戶外暴露時間（單位：小時）與近視發(fā)病率的關(guān)系，對某中學一年級200名學生進行不記名問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

每周累積戶外暴露時間（單位：小時）

不少于28小時

近視人數(shù)

21

39

37

2

1

不近視人數(shù)

3

37

52

5

3

（1）在每周累計戶外暴露時間不少于28小時的4名學生中，隨機抽取2名，求其中恰有一名學生不近視的概率；

（2）若每周累計戶外暴露時間少于14個小時被認證為“不足夠的戶外暴露時間”，根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，并根據(jù)（2）中的列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為不足夠的戶外暴露時間與近視有關(guān)系？

近視

不近視

足夠的戶外暴露時間

不足夠的戶外暴露時間

附:

P

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側(cè)面底面，且為等腰直角三角形，，為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成線面角的正切值．

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【題目】下列判斷正確的是( )

A. 設(shè)是實數(shù),則“”是“ ”的充分而不必要條件

B. :“,”則有:不存在,

C. 命題“若,則”的否命題為:“若,則”

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若上恰有2個點到的距離等于，求的斜率.

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【題目】如圖，圓C與x軸相切于點T(2，0)，與y軸的正半軸相交于A，B兩點（A在B的上方），且AB＝3．

（1）求圓C的方程；

（2）直線BT上是否存在點P滿足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如果圓C上存在E，F(xiàn)兩點，使得射線AB平分∠EAF，求證：直線EF的斜率為定值．

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