Question

（2008•臨沂二模）在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足：f（0）=0，xf'（x）＞0，則
①f（-2）＜f（-1）；
②f（x）不可能是奇函數(shù)；
③函數(shù)y=xf（x）在R上為增函數(shù)；
④存在區(qū)間[a，b]，對(duì)任意x₁，x₂∈[a，b]，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

成立．
其中正確命題的序號(hào)為（將所有正確命題的序號(hào)都填上）

②③④

．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性．然后分別利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
所以f（-2）＞f（-1）所以①錯(cuò)誤．
因?yàn)槠婧瘮?shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以f（x）不可能是奇函數(shù)，所以②錯(cuò)誤．
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，y=x也單調(diào)遞增，所以y=xf（x）也單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時(shí)，此時(shí)f（x）函數(shù)單調(diào)遞減，y=x單調(diào)遞增且x＜0，所以y=xf（x）也單調(diào)遞增，
因?yàn)閒（0）=0，所以當(dāng)x=0時(shí)xf（x）=0，所以函數(shù)y=xf（x）在R上為增函數(shù)，所以③正確．
滿足對(duì)任意x₁，x₂∈[a，b]，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

成立的函數(shù)為凹函數(shù)，
所以當(dāng)f（x）=x²滿足條件，所以④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，綜合性強(qiáng)．