Question

5．設向量$\overrightarrow{a}$=（1+cosα，sinα），$\overrightarrow$=（1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{c}$=（1，0），其中α∈（0，π），β（π，2π）．
（1）求證：|$\overrightarrow{a}$|=2cos$\frac{α}{2}$，|$\overrightarrow$|=2sin$\frac{β}{2}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角是θ₁，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角是θ₂，且θ₁-θ₂=$\frac{π}{6}$，求sin$\frac{α-β}{4}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角的余弦公式可以先分別求出${\overrightarrow{a}}^{2}=4co{s}^{2}\frac{α}{2}，{\overrightarrow}^{2}=4si{n}^{2}\frac{β}{2}$，根據(jù)α，β的范圍可以求出$\frac{α}{2}，\frac{β}{2}$的范圍，從而可以得出$|\overrightarrow{a}|=2cos\frac{α}{2}，|\overrightarrow|=2sin\frac{β}{2}$；
（2）根據(jù)向量夾角的余弦公式及二倍角公式便可得到$cos{θ}_{1}=cos\frac{α}{2}，cos{θ}_{2}=cos（\frac{β}{2}-\frac{π}{2}）$，上面已得出$\frac{α}{2}，\frac{β}{2}$的范圍，這樣可以求出$\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$的范圍，結(jié)合向量夾角的范圍便可以得到${θ}_{1}=\frac{α}{2}，{θ}_{2}=\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$，從而可以求出$\frac{α-β}{4}$，從而得出$sin\frac{α-β}{4}$的值．

解答 解：（1）證明：${\overrightarrow{a}}^{2}=（1+cosα）^{2}+si{n}^{2}α$=$2（1+cosα）=4co{s}^{2}\frac{α}{2}$；
∵α∈（0，π）；
∴$\frac{α}{2}∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{a}|=2cos\frac{α}{2}$；
${\overrightarrow}^{2}=2（1-cosβ）=4si{n}^{2}\frac{β}{2}$；
β∈（π，2π）；
∴$\frac{β}{2}∈（\frac{π}{2}，π）$；
∴$|\overrightarrow|=2sin\frac{β}{2}$；
（2）根據(jù)條件，$cos{θ}_{1}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{1+cosα}{2cos\frac{α}{2}}=\frac{2co{s}^{2}\frac{α}{2}}{2cos\frac{α}{2}}=cos\frac{α}{2}$，$cos{θ}_{2}=\frac{1-cosβ}{2sin\frac{β}{2}}=sin\frac{β}{2}=cos（\frac{π}{2}-\frac{β}{2}）$=$cos（\frac{β}{2}-\frac{π}{2}）$；
∵$\frac{α}{2}∈（0，\frac{π}{2}），\frac{β}{2}∈（\frac{π}{2}，π）$，$\frac{β}{2}-\frac{π}{2}∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴${θ}_{1}，{θ}_{2}∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴${θ}_{1}=\frac{α}{2}，{θ}_{2}=\frac{β}{2}-\frac{π}{2}$；
∴${θ}_{1}-{θ}_{2}=\frac{α}{2}-\frac{β}{2}+\frac{π}{2}=\frac{π}{6}$；
∴$\frac{α-β}{4}=-\frac{π}{6}$；
∴$sin（\frac{α-β}{4}）=-\frac{1}{2}$．

點評 考查二倍角的余弦公式，向量數(shù)量積的坐標運算，根據(jù)向量坐標求向量長度的方法，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍，以及三角函數(shù)的誘導公式．